Question

若直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）的直線與橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的公共點(diǎn)有（　　）

• A、0 個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2 個(gè)
• D、最多一個(gè)

Answer 1

分析：由于直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，可得：圓心（0，0）到此直線的距離d＞r．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得m²+n²＜4．再判斷

m2

16

+

n2

4

與1的關(guān)系即可得出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，∴圓心（0，0）到此直線的距離d＞r．
∴d=

4

m2+n2

＞2，化為m²+n²＜4．
∵

m2

16

+

n2

4

=

1

16

(m2+4n2)＜

1

16

(4-n2+4n2)=

1

16

(4+3n2)＜

1

16

(4+3×4)=1，
∴點(diǎn)（m，n）在橢圓的內(nèi)部，∴過點(diǎn)（m，n）的直線與橢圓

x2

16

+

y2

4

=1相交，
故公共點(diǎn)有兩個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓及橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．