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若直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的交點個數為
2
2
個.
分析:先根據題意可知圓心(0,0)到直線mx+ny-4=0的距離大于 2求得m和n的范圍,可推斷點P(m,n)是以原點為圓心,2為半徑的圓內的點,根據圓的方程和橢圓方程可知圓內切于橢圓,進而可知點P是橢圓內的點,進而判斷可得答案.
解答:解:由題意可得,
4
m2+n2
>2

∴m2+n24
所以點P(m,n)是在以原點為圓心,2為半徑的圓內的點.
∵橢圓的長半軸 3,短半軸為 2
∴圓m2+n2=4內切于橢圓
∴點P是橢圓內的點
∴過點P(m,n)的一條直線與橢圓的公共點數為2.
故答案為:2
點評:本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關系,以及點到直線的距離公式,解決此類問題可采用數形結合的方法較為直觀.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(m,n)的直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的公共點個數為(  )
A、至多一個B、0個
C、1個D、2個

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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
的交點個數為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線mx+ny=4和圓:x2+y2=4沒有公共點,則過點(m,n)直線與橢圓
x2
5
+
y2
4
=1
的交點的個數( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(m,n)的直線與橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
的公共點有( 。
A、0 個
B、1個
C、2 個
D、最多一個

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