Question

（1）實數m分別取什么值時，復數z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是①實數，②虛數，③純虛數；
（2）設z²=8+6i，求z3-16z-

100

z

．

Answer 1

分析：（1）先由復數z的實部等于0，虛部等于0解出m的值，然后根據復數z是實數、虛數、純虛數的定義得到m的取值；
（2）把要求解的式子通分，然后代入z²的值進行化簡，再設出復數z，平方后利用復數相等求出z，最后代入化簡過的式子得到結果．

解答：解：（1）由m²-3m-4=0，得：m=-1或m=4．
由m²-5m-6=0，得：m=-1或m=6．
所以①，要使復數z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是實數，則m=-1或m=6；
要使復數z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是虛數，則m≠-1且m≠6；
要使復數z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是純虛數，則m=4．
（2）z3-16z-

100

z

=

z4-16z2-100

z

=

(8+6i)2-16(8+6i)-100

z

=

-200

z

．
設z=a+bi（a，b∈R），由z²=8+6i，得（a+bi）²=a²-b²+2abi=8+6i．
所以

a2-b2=8 2ab=6

，解得

a=3 b=1

或

a=-3 b=-1

．
則z=3+i或z=-3-i．
當z=3+i時，z3-16z-

100

z

=

-200(3-i)

(3+i)(3-i)

=

-200(3-i)

10

=-60+20i．
當z=-3-i時，z3-16z-

100

z

=

-200(-3+i)

(-3-i)(-3+i)

=

-200(-3+i)

10

=60-20i．

點評：本題考查了復數的基本概念，考查了復數代數形式的乘除運算，復數的除法采用分子分母同時乘以分母的共軛復數，考查了學生的計算能力，是中檔題．