Question

（2009•杭州二模）如圖，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每個小三角形的頂點上都放置一個非零實數(shù)，使得任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數(shù)的乘積相等．設點A為第一行，…，BC為第n行，
記點A上的數(shù)為a_1，1，…，第I行中第j個數(shù)為ai，j(1≤j≤i)．若a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

則下列結論中正確的是

①④

（把正確結論的序號都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=(

1

2

)2007-(

1

4

)2009
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

Answer 1

分析：根據(jù)任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數(shù)的乘積相等，從而求出所求．

解答：解：∵任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數(shù)的乘積相等，∴a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3，故①正確；對于②，由于左邊的下標和與右邊的下標和不相等，故錯誤；由a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

，借助于定義可知：第2009行組成以

1

22008

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，所以a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=

1 22008 (1- 1 22009 )

1- 1 2

=(

1

2

)2007-(

1

4

)2008，故③錯誤
④i=1時，a_1，1+a_2，1+…+a_n，1=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-21-n，2^n-1（a_n，1+a_n，2+…+a_n，n）=2n-1

1 2n-1 (1- 1 2n )

1- 1 2

= 22-n(1-

1

2n

)=2-21-n ，故正確；
故答案為①④

點評：本題主要考查了數(shù)列的應用，解題的關鍵就是根據(jù)任意兩個相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對頂點上實數(shù)的乘積相等建立等式，屬于中檔題．