【題目】已知函數
.
（1）若
，求函數
在
處的切線方程；
（2）討論極值點的個數；
（3）若
是的一個極小值點，且
，證明：
.
【答案】（1）
（2）當
時，
無極值點；當
時，有一個極值點（3）證明見解析
【解析】
（1）求導得到
，
，
，得到切線方程.
（2）求導得到
，討論和兩種情況， 時必存在
，使
，計算單調區間得到極值點個數.
（3）
，即
，代入得到
，設
，確定函數單調遞減得到
，令，確定單調性得到答案.
（1）當
時，
，，所以，.
從而在
處的切線方程為
，即.
（2）
，
，
①當時，
，在
上是增函數，不存在極值點；
②當時，令
，
，
顯然函數
在
是增函數，又因為
，
，
必存在，使，
，
，
，為減函數，
，
，，為增函數，
所以，
是的極小值點，
綜上：當時，無極值點，當時，有一個極值點.
（3）由（2）得：，即，
，
因為
，所以，
令，
，
在上是減函數，
且
，由
得
，所以.
設
，
，
，
，
，所以
為增函數，
即
，即
，所以
，
所以
，所以
，
因為，所以
，
，
相乘得
，
所以
，
結論成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新藥在進入臨床實驗之前，需要先通過動物進行有效性和安全性的實驗．現對某種新藥進行5000次動物實驗，一次實驗方案如下：選取3只白鼠對藥效進行檢驗，當3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”；若有且只有1只“效果明顯”，則再取2只白鼠進行二次檢驗，當2只白鼠均使用“效果明顯”，即確定“實驗成功”，其余情況則確定“實驗失敗”．設對每只白鼠的實驗相互獨立，且使用“效果明顯”的概率均為
．
（Ⅰ）若
，設該新藥在一次實驗方案中“實驗成功”的概率為
，求的值；
（Ⅱ）若動物實驗預算經費700萬元，對每只白鼠進行實驗需要300元，其他費用總計為100萬元，問該動物實驗總費用是否會超出預算，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，橢圓
的左，右焦點分別為
，
，點又恰為拋物線
的焦點，以
為直徑的圓與橢圓
僅有兩個公共點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與
相交于
，
兩點，記點，到直線
的距離分別為
，
，
．直線與相交于
，
兩點，記
，
的面積分別為
，
．
（ⅰ）證明：
的周長為定值；
（ⅱ）求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線C的參數方程為
(t為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
(1)求C的普通方程和的直角坐標方程；
(2)求C上的點到距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接中國共產黨的十九大的到來，某校舉辦了“祖國，你好”的詩歌朗誦比賽.該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加，且當這3名同學都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學生不同的朗誦順序的種數為（ ）
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，
軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系.已知直線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
.
（1）設
為參數，若
，求直線的參數方程；
（2）已知直線與曲線交于
，設
，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，上、下頂點分別為
，
，直線
的傾斜角為
，橢圓上的點到焦點的最大距離為3．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若經過左焦點的直線
與橢圓交于
，
兩點，且，兩點均在
軸的左側，記
和
的面積分別為
和
，求
的取值范圍．
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