Question

已知圓C以C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)為圓心且經過原點O．
（1）若t=2，寫出圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，已知點B的坐標為（0，2），設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）直接代入可得圓的方程；
（2）求出點B關于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉化為對稱點到圓上的最小值問題，根據圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．

解答：解：（1）由題知，圓C方程為(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

，
所以t=2，圓方程為（x-2）²+（y-1）²=5
（2）點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點Q的最短距離為|BC|-r=3

5

-

5

=2

5

所以|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，
直線B′C的方程為y=

1

2

x
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點P的坐標為(-

4

3

，-

2

3

)．

點評：本題考查圓的方程，考查對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．