Question

已知圓C以（3，-1）為圓心，5為半徑，過點S（0，4）作直線l與圓C交于不同兩點A，B．
（Ⅰ）若AB=8，求直線l的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率為-2時，過直線l上一點P，作圓C的切線PT（T為切點）使PS=PT，求點P的坐標；
（Ⅲ）設AB的中點為N，試在平面上找一點M，使MN的長為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當斜率不存在時，x=0符合條件； 當斜率存在時，設出直線的方程，再由圓心距的平方與弦長一半的平方等于半徑的平方求得圓心距，最后由點到直線的距離公式求得l的方程．
（Ⅱ）當l斜率為-2時，直線l方程為y=-2x+4，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，從而得到點P的坐標．
（Ⅲ）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得．

解答：解：（Ⅰ）圓心C坐標（3，-1），半徑r=5，
由條件可知：圓心C到直線l的距離為3．（3分）
當斜率不存在時，x=0符合條件； （4分）
當直線l斜率存在時，設其為k，
則

|3k+5|

k2+1

=3⇒k=-

8

15

，
則直線l的方程為8x+15y-60=0．
綜上，直線l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）
（Ⅱ）知直線l方程為y=-2x+4，設點P（a，4-2a），
則由PC²-r²=PS²得：a²+4a²=（a-3）²+（5-2a）²-25，
⇒a=

9

26

，
所求點P為(

9

26

，

43

13

)；（10分）
（Ⅲ）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半有：
定點M的坐標為 (

3

2

，

3

2

)．（16分）

點評：本題主要考查直線與圓的方程的應用，主要涉及了垂徑定理，切線的性質及直角三角形的性質．當直線與圓相交時，常常過圓心作弦的垂線，根據弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．