Question

設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，右圖是函數(shù)圖形的一部分，當(dāng)0≤x≤2時，是線段OA；當(dāng)x＞2時，圖象是頂點為P（3，4）的拋物線的一部分．
（1）在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x∈（-∞，-2）時，y=f（x）的圖象時頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，利用拋物線的頂點式寫出其解析式即可．
（2）由題意知，先利用一次函數(shù)及二次函數(shù)的圖象畫出y軸右側(cè)的圖象，再根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性，得出整個圖象．
（3）由（2）中函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最大最大值為4，從而得出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）圖象如圖所示…（2分）

（2）當(dāng)x≥2時，設(shè)f（x）=a（x-3）²+4…（3分）
∵f（x）的圖象過點A（2，2），
∴f（2）=a（2-3）²+4=2，∴a=-2，
∴f（x）=-2（x-3）²+4…（5分）        
設(shè)x∈（-∞，-2），則-x＞2，
∴f（-x）=-2（-x-3）²+4．
又因為f（x）在R上為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2（-x-3）²-4，
即f（x）=2（x+3）²-4，x∈（-∞，-2）…（8分）
（3）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-3]和[3，+∞），單調(diào)增區(qū)間為[-3，3]…（10分）

點評：本題主要考查分段函數(shù)及函數(shù)的圖象、考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．