Question

（2008•海珠區一模）已知點A（1+sin（

π

2

-2x），1），B（1，

3

sin（π-2x）+a）（x∈R，a），y=

OA

•

OB

．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）當x∈[0，

π

3

]時f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，化簡f（x）的解析式為2sin（

π

6

+2x）+a+1．
 （2）根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，從而求出f（x）=2sin（

π

6

+2x）+a+1的最大值，再根據它的最大值等于4求出a的值

解答：解：∵（1）點A（1+sin（

π

2

-2x），1），B（1，

3

sin（π-2x）+a）（a、x∈R，），
∴y=f（x）=

OA

•

OB

=（1+sin（

π

2

-2x），1）•（1，

3

sin（π-2x）+a）=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（

π

6

+2x）+a+1
（2）當x∈[0，

π

3

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，故當2x+

π

6

=

π

2

時，函數y有最大值等于2+a+1=4，a=1．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．