Question

如圖，點C是以AB為直徑的圓上一點，直角梯形BCDE所在平面與圓O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=BC=2，AC=CD=3．
（Ⅰ）證明：EO∥平面ACD；
（Ⅱ）證明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）如圖，取BC的中點M，連接O同、ME．在三角形ABC中，利用中位線定理得到OM∥AC，再證出四邊形MCDE是平行四邊形，結(jié)合面面平行的判定得到面EMO∥面ACD，最后利用面面平行的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（II）根據(jù)AB是圓的直徑，C點在圓上，得到直徑所結(jié)的圓周角是直角，又平面BDCE⊥平面ABC，從而有AC⊥平面BDCE，最后利用面面垂直的判定即可得出平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱錐A-BDE的高線，再將三棱錐E-ABD的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A-BDE的體積求解即可．
解答：解：（I）如圖，取BC的中點M，連接O同、ME．
在三角形ABC中，O是AB的中點，M是BC的中點，
∴OM∥AC，
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=CM，
∴四邊形MCDE是平行四邊形，∴EM∥CD，
∴面EMO∥面ACD，
又∵EO?面EMO，
∴EO∥面ACD．（8分）
（II）∵AB是圓的直徑，C點在圓上，
∴AC⊥BC，又∵平面BDCE⊥平面ABC，平面BDCE∩平面ABC=BC
∴AC⊥平面BDCE，∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱錐A-BDE的高線，
∵Rt△BDE中，S_△BDE=DE×CD=×2×3=3．
因此三棱錐E-ABD的體積=三棱錐A-BDE的體積=S_△BDE×AC=×3×3=3．
點評：本題給出一個特殊的幾何體，通過求證線面垂直和求體積，著重考查了空間直線與平面平行、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了錐體體積公式，屬于中檔題．