Question

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問(wèn)5分，（2）小問(wèn)7分）

如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若求橢圓的離心率

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.

（1）由橢圓的定義，

設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此

即

從而

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解法一：如圖（21）圖，設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且，則

求得

由,得,從而

由橢圓的定義，,從而由，有

又由，知，因此

于是

解得.

解法二：如圖由橢圓的定義，,從而由，有

又由，知，因此,

,從而

由,知，因此