Question

設定義域為R的奇函數y=f（x）是減函數，若當θ∈[0，

π

2

]時，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

由條件可得：f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）
由于y=f（x）是奇函數，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分）
即f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）
又由于y=f（x）是減函數，等價于cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分）
設t=sinθ∈[0，1]，等價于t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分）
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分）
（1）當m＜0時，最小值為g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-

1

2

（2）當0≤m≤1時，最小值為g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）當m＞1時，最小值為g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
綜之：m＞-

1

2

為所求的范圍．（14分）