Question

設定義域為R的奇函數y=f（x）是減函數，若當θ∈[0，

π

2

]時，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據函數是奇函數原不等式化簡為f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函數的單調性可得：cos²θ+2msinθ＜2m+2，進而利用換元法并且借助于恒成立問題的解決方法得到答案．

解答：解：由條件可得：f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）
由于y=f（x）是奇函數，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分）
即f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）
又由于y=f（x）是減函數，等價于cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分）
設t=sinθ∈[0，1]，等價于t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分）
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分）
（1）當m＜0時，最小值為g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-

1

2

（2）當0≤m≤1時，最小值為g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）當m＞1時，最小值為g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
綜之：m＞-

1

2

為所求的范圍．（14分）

點評：本題考查了抽象不等式問題，特別要注意體會由抽象不等式向三角不等式轉化的過程當中單調性起到了重要的作用．同時本題充分挖掘了二次函數圖象的特點，為求解參數的范圍提供了方便．