Question

已知圓C經過點，且圓心在直線上，且，又直線與圓Ｃ相交于、兩點.

（I）求圓Ｃ的方程；

（II）若，求實數的值；

（III）過點作直線與垂直，且直線與圓Ｃ交于兩點,求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）（III）

解析:

(I)設圓心半徑為. 因為圓經過點        

所以，解得 ，              …………………2分

      所以圓的方程是 .                      …………………4分

     (II)方法一：

因為,               …………………6分

      所以, ,                …………………7分

所以圓心到直線的距離,           …………………8分

      又，所以.                         …………………9分

     方法二：設,

因為，代入消元得.   …………………6分

由題意得：                …………………7分

因為=，                    

       又,

所以,  =,     …………………8分

化簡得: ，

所以 即.                               …………………9分

(III)方法一：

設圓心到直線的距離分別為，四邊形的面積為.        

因為直線都經過點，且，

根據勾股定理，有,                       …………………10分

又根據垂徑定理和勾股定理得到，,

                                                    ………………11分

而，即

…………13分

當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.      ………………14分

方法二：設四邊形的面積為.

當直線的斜率時，則的斜率不存在，

此時.                            …………………10分

當直線的斜率時，

設

則  ，代入消元得

所以

同理得到.

                                                  ………………11分

         ………………12分

因為，

所以 ,                      ………………13分

當且僅當時，等號成立,所以的最大值為.