Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2若函數有兩個零點分別記為．

①求的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】⑴見解析；⑵見解析；⑶見證明

【解析】

（1），可分四種情況討論的符號后可得的單調性．

（2）①結合（1）中函數的單調性討論，當時，無兩個零點，當時，利用零點存在定理可得有兩個不同的零點，當時，利用時恒成立得到在上沒有零點，當時，結合函數的單調性及可得在上不可能有兩個零點．

②結合函數的導數可知原不等式的證明可歸結為，構建新函數，利用導數可證在上為單調增函數，設，利用及可得．

（1），

（i）當時，，

時，單調遞減；

時，單調遞增．

（ii）當時，

時，單調遞增；

時，單調遞減；

時，單調遞增．

（iii）當時，恒成立，在上單增．

（iv）當時，

時，單調遞增；

時，單調遞減，

時，單調遞增．

綜上所述：時，在上單調遞減，上單調遞增；

時，在上單調遞減，在上單調遞增；

時，在上單調遞增；

時，在上單調遞減，上單調遞增.

（2）①，

（i）當時，，只有一個零點，舍去；

（ii）當時，在上單調遞減，上單調遞增，

又，取且，

則

，

存在兩個零點．

（iii）當時，在上單調遞增，時，

不可能有兩個零點，舍去．

（iv）當時，在上單調遞增，不可能有兩個零點，舍去．

（v）當時，時，，又在單調遞減，在上單調遞增，因，不可能有兩個零點，舍去．

綜上所述：．

②由①知：，在上單調遞減，在上單調遞增，

要證， 即證，即證，

令，則

當時，單調遞增．

不妨設，則，即，

又 ，，

在上單調遞減， ， ，原命題得證．