Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F₁的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，解得，由此能得到所求橢圓的方程．
（2）由題意知F₁（-1，0）、F₂（1，0），①若直線l的斜率不存在，
則直線l的方程為x=-1，由得
設、，，這與已知相矛盾．
②若直線l的斜率存在，設直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），聯立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．再由根與系數的關系進行求解．
解答：解：（1）由已知得，
解得
∴∴所求橢圓的方程為
（ 2）由（1）得F₁（-1，0）、F₂（1，0）
①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1，
由得
設、，
∴，這與已知相矛盾．
②若直線l的斜率存在，設直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
聯立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴，
∴．
又∵
∴
∴
化簡得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=（舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，合理解答．