Question

（2013•揭陽二模）如圖，已知三棱柱BCF-ADE的側面CFED與ABFE都是邊長為1的正方形，M、N兩點分別在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求證：MN∥平面BCF；
（3）若點N為EC的中點，點P為EF上的動點，試求PA+PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）四邊形CFED與ABFE都是正方形，利用線面垂直可得EF⊥平面ADE，再根據EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出結論；
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連結M₁N₁，先證得四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，得MN∥N₁M₁，再根據線面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性質得出MN∥面BCF；
（3）將平面EFCD繞EF旋轉到與ABFE在同一平面內，則當點A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小．通過解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．

解答：解：（1）∵四邊形CFED與ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連結M₁N₁，------------（5分）
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵

MM1

AB

=

FM

FA

=

CN

CE

=

NN1

EF

，
∴MM₁=NN₁--------------------------------（7分）
∴四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，----------------------（8分）
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結NG，則

CN

NE

=

FM

MA

=

FG

GE

，∴NG∥CF-------------（6分）
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如圖將平面EFCD繞EF旋轉到與ABFE在同一平面內，則當點
A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵∠AEN=135°，AE=1，NE=

2

2

由余弦定理得AN²=AE²+EN²-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴AN=

10

2

，
即(PA+PN)min=

10

2

．-----------------------（14分）

點評：本小題考查空間中的線面關系及面面關系，點、線、面間的距離計算、解三角形等基礎知識考查空間想象能力和思維能力．