Question

已知定義域為R的函數是奇函數.

(1)求a、b的值；

(2)判斷并證明f(x)的單調性；

(3)若對任意的x∈R，不等式f(x²-x)+f(2x²-t)<0恒成立，求t的取值范圍.

Answer 1

解：(1)∵f(x)是奇函數且0∈R，∴f(0)=0即……………………2分

∴

又由f(1)=-f(-1)知a=2……………………………………………4分

∴f(x)=

(2)f(x)在(-∞,+∞)上為減函數………………………………………………………5分

證明如下：設x₁,x₂∈(-∞,+∞)且x₁<x₂

            ·

∵y=2^x在(-∞,+∞)上為增函數且x₁<x₂，∴

且y=2^x>0恒成立，∴

∴f(x₁)-f(x₁)>0

∴f(x)在(-∞,+∞)上為減函數………………………………………………………10分

(3)∵f(x)是奇函數f(x²-x)+f(2x²-t)<0等價于f(x²-x)<-f(2x²-t)=f(-2x²+t)……12分

又∵f(x)是減函數，∴x²-x>-2x²+t

即一切x∈R，3x²-x-t>0恒成立………………………………………………………14分

∴判別式△=1+12t<0，即t<……………………………………………………16分