Question

（1）已知函數(shù)f（x）圖象是連續(xù)的，有如下表格，判斷函數(shù)在哪幾個區(qū)間上有零點．

（2）已知二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的兩個根分別屬于（-1，0）和（0，2），求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（-2）•f（-1.5）＜0，f（-0.5）•f（0）＜0，f（0）•f（0.5）＜0，
得到函數(shù)在（-2，-1.5）、（-0.5，0）、（0，0.5）內(nèi)有零點．
（2）設(shè)f（x）=（m-2）x²+3mx+1，則f（x）=0的兩個根分別屬于（-1，0）和（1，2）．
所以，
即，
∴．
分析：（1）要判斷函數(shù)零點的個數(shù)，我們可以根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，分析f（a）•f（b）＜0的區(qū)間有多少個，然后根據(jù)零點存在判定定理即可給出答案．
（2）如果二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的兩個根分別屬于（-1，0）和（0，2），則對應(yīng)的二次函數(shù)在區(qū)間（-1，0）和
（0，2）各有一個零點，根據(jù)零點存在定理，f（-1）•f（0）＜0且f（0）•f（2）＜0，解不等式組，即可求出滿足條件m的取值范圍．
點評：連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）必然存在零點．如果方程在某區(qū)間上有且只有一個根，可根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進(jìn)行解答，但要注意該定理只適用于開區(qū)間的情況，如果已知條件是閉區(qū)間或是半開半閉區(qū)間，我們要分類討論．