Question

（1）已知函數f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）圖象上的任意兩點．
①試求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍；
②求f（x）圖象上任一點切線的斜率k的范圍；
（2）由（1）你能得出什么結論？（只須寫出結論，不必證明），試運用這個結論解答下面的問題：已知集合M_D是滿足下列性質函數f（x）的全體：若函數f（x）的定義域為D，對任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①當D=（0，1）時，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說明理由；
②當D=(0，

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)，函數f（x）=x³+ax+b時，若f（x）∈M_D，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））由斜率公式用兩點坐標表示出，再根據定義域求范圍．
②求出導函數的值域，即為割線的斜率的取值范圍．
（2）得出結論，函數y=f（x）圖象上任意兩點P、Q連線的斜率k=

y1-y2

x1-x2

(x1≠x2)的取值范圍，
就是曲線上任一點切線的斜率（如果有的話）的范圍；對于①解出導函數，當x∈（0，1），導數大于1，由（1）的結論|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞1，這與|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|矛盾，f（x）=lnx∉M_D．對于②解出導函數由定義域知a＜f′（x）＜1+a．若f（x）∈M_D，則可根據定義得出關于a的不等式組，解之，有解既得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）=1 ①設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上的任意兩點（x₁≠x₂），則kPQ=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(-x22+4)-(-x12+4)

x2-x1

=-(x2+x1)，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）圖象上任一點切線的斜率k的范圍是（-4，2）；
（2）由（1）得：函數y=f（x）圖象上任意兩點P、Q連線的斜率k=

y1-y2

x1-x2

(x1≠x2)的取值范圍，
就是曲線上任一點切線的斜率（如果有的話）的范圍（其實由導數的定義可得）．
①∵f′(x)=

1

x

，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1?|f′（x）|＞1，
∴|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞1，當x₁，x₂∈（0，1）時，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b?f′（x）=3x²+a，當x∈(0，

3

3

)時，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，即|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＜1，
∴

a≥-1 1+a≤1

，得-1≤a≤0．
∴實數a的取值范圍是[-1，0]．

點評：考查函數圖象上兩點連線的斜率與函數在這一段上的導數的值域的關系，對于第（II）問，其中①判斷該函數是否符合定義，其②是根據函數符合定義轉化成不等式組求參數．請讀者認真體會這兩個題型的同同．