Question

已知函數（為常數）．

（1）若是函數的一個極值點，求的值；

（2）當時，試判斷的單調性；

（3）若對任意的 ，使不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）3；（2）在上是增函數；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求函數的定義域，，在由可求得；（2）在中由于，判斷函數的正負號，從而確定函數在上的單調性；（3）當時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，

故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．分離變量恒成立，構造函數

記，（），由導數法求解.

依題意，，

（1）由已知得：，∴，∴．（3分）

（2）當時，，

因為，所以，而，即，

故在上是增函數．（8分）

（3）當時，由(2)知，在[1，2]上的最小值為，

故問題等價于：對任意的，不等式恒成立．即恒成立

記，（），則，

令，則

所以，所以,

故，所以在上單調遞減所以

即實數的取值范圍為．（13分）

考點：導數法求函數的單調性，構造法.