Question

已知定點A(1，0)和直線x=-1上的兩個動點E、F，且，動點P滿足(其中O為坐標原點)．

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點B(0，2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若＜0，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設P(x，y)、E(-1，y_E)、F(-1，y_F) 

而=(y_E-2)·(y_F-2)=y_E·y_F+4=0

∴y_E·y_F=-4  ① 

又=(x+1，y-y_E)，=(1-y_E)

而

∴y-y_E=0且x(-y_F)-y=0

∴y_E=y    y_F=-代入①得

y²=4x  (x≠0)

則所求曲線C的方程為y²=4x(x≠0)．

(2)設l：y-2=kx(由圖判定k存在)

聯立y²=4x消去x得ky²-4y+8=0

令M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)

∴y₁+y₂=  y₁·y₂=

=(x₁-1，y₁)·(x₂-1，y₂)

=x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂

=+1+y₁y₂

=

-12＜k＜0

則實數k的范圍為(-12，0)．