Question

已知定點A(-1，0)，F(2，0)，定直線l：x=。不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍，設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N，
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設P(x，y)，則，
化簡得。
(Ⅱ)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y=k(x-2)(k≠0)，
與雙曲線方程聯立消去y得(3-k²)x²+4k²x-(4k²+3)=0，
由題意知，3-k²≠0且△＞0，
設B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則，

，
因為x₁，x₂≠-1，所以直線AB的方程為，
因此M點的坐標為，
同理可得，
因此
；
②當直線BC與x軸垂直時，其方程為x=2，則B(2，3)，C(2，-3)，
AB的方程為y=x+l，因此M點的坐標為，，
同理可得，
因此，
綜上，，即FM⊥FN，
故以線段MN為直徑的圓過點F。