Question

在下列各題中,判斷A是B的什么條件,并說明理由.

(1)A:|p|≥2,p∈R,B:方程x²+px+p+3=0有實根;

(2)A:圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,B:c²=(a²+b²)r².

Answer 1

解:(1)當|p|≥2時,例如p=3,則方程x²+3x+6=0無實根,而方程x²+px+p+3=0有實根,必有p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分條件.

(2)若圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,圓心到直線ax+by+c=0的距離等于r,即,所以c²=(a²+b²)r²;反過來,若c²=(a²+b²)r²,則成立,說明x²+y²=r²的圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離等于r,即圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要條件.

啟示:對于涉及充分必要條件判斷的問題,必須以準確、完整地理解充分、必要條件的概念為基礎,有些問題需轉化為等價命題后才容易判斷.