Question

在下列各題中,判斷A是B的什么條件,并說明理由.

（1）A:|p|≥2,p∈R,B:方程x²+px+p+3=0有實根；

（2）A:圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,B:c²=（a²+b²）r².

Answer 1

思路分析： （1）研究集合A與B的包含關系；

（2）由解析幾何的知識，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑.

解:（1）當|p|≥2時,例如p=3,則方程x²+3x+6=0無實根,而方程x²+px+p+3=0有實根,Δ=p²-4p-12≥0必有 p≤-2或p≥6,可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分條件.

（2）若圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,圓心到直線ax+by+c=0的距離等于r,即r=.所以c²=（a²+b²）r²；反過來,若c²=（a²+b²）r²,則=r成立,說明x²+y²=r²的圓心（0,0）到直線ax+by+c=0的距離等于r,即圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要條件.

方法歸納 對于涉及充分必要條件判斷的問題,必須以準確理解充分、必要條件的概念為基礎,有些問題需轉化為等價命題后才容易判斷.