Question

已知二次函數f（x）滿足以下兩個條件：
①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）
②函數f（x）在x∈[1，2]上的最小值是3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，且a₁=99
（ⅰ）求證：數列{lg（1+a_n）}為等比數列
（ⅱ）令b_n=lg（1+a_n），是否存在正實數k，使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對于一切的n∈N^*恒成立？若存在，指出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，設f（x）=ax（x+2）（a＞0），確定函數的對稱軸，利用函數f（x）在x∈[1，2]上的最小值，即可求得函數解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，化簡可得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），即可證得數列{lg（1+a_n）}是以2為首項，2為公比的等比數列；
（ⅱ）要使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對于一切的n∈N^*恒成立，則kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立．利用n=1時，k-2-2＞0成立，可得k＞4，再驗證kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立即可．
解答：（Ⅰ）解：由題意，設f（x）=ax（x+2）（a＞0），∴函數的對稱軸為直線x=-1
∴函數f（x）在x∈[1，2]上的最小值是f（1）=3a=3
∴a=1
∴f（x）的解析式為f（x）=ax（x+2）；
（Ⅱ）（ⅰ）證明：∵點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）的圖象上，
∴a_n+1=a_n²+2a_n，∴1+a_n+1=（1+a_n）²，
∴lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n）
∵a₁=99
∴lg（1+a₁）=2
∴數列{lg（1+a_n）}是以2為首項，2為公比的等比數列；
（ⅱ）解：b_n=lg（1+a_n）=2ⁿ，要使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對于一切的n∈N^*恒成立，則kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立．
n=1時，k-2-2＞0成立，即k＞4；
設g（n）=kn²-2n-2，當k＞4時，由于對稱軸為n=＜1，且g（1）＞0，而函數f（x）在[1，+∞）上是增函數
∴kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立
∴k＞4時，不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1對于一切的n∈N^*恒成立．
點評：本題考查函數的解析式，考查等比數列的證明，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．