Question

過點A （4，3）作直線L，如果它與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1只有一個公共點，則直線L的條數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：寫出過點A（4，3）的直線L的方程，和雙曲線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0求出和雙曲線相切的直線的斜率，然后由二次項系數等于0求出和雙曲線有一個交點的直線的斜率，從而判斷出直線L的條數．

解答：解：因為點A（4，3）在雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的右支上，且不是右頂點，
所以要使過A（4，3）的直線與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1只有一個公共點，
則直線L的斜率存在且不等于0，設其斜率為k，
則L的方程為y-3=k（x-4），
聯立

y-3=k(x-4) x2 4 - y2 3 =1

，得（3-4k²）x²+（32k²-24k）x-64k²+96k-48=0．
當3-4k²≠0時，
由△=（32k²-24k）²-4（3-4k²）（-64k²+96k-48）
=1024k⁴-1536k³+576k²+768k²-1152k+576-1024k⁴+1536k³-768k²
=576k²-1152k+576=0，得k=1．
所以過點A（4，3）與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1相切的直線一條；
當3-4k²=0，即k=±

3

2

時，過點A（4，3）與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1相交于一點的直線有兩條，它們是平行于雙曲線漸近線的兩條直線．
綜上，直線L的條數是3．
故選C．

點評：本題考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了判別式法判斷方程根的個數，是中檔題．