Question

過點P（4，3）作直線l，直線l與x，y的正半軸分別交于A，B兩點，O為原點，當|OA|+|OB|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：由題意可得：直線的斜率k＜0，設直線方程為：kx-y+3-4k=0，可得B（0，3-4k），A（4-

3

k

，0），即可得到|OA|+|OB|=7+（-4k）+

3

-k

，進而利用基本不等式求出最值，并且得到k的取值得到直線的方程．

解答：解：由題意可得：設直線的斜率為k，
因為直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，
所以得到k＜0．
則直線l的方程為：y-3=k（x-4），整理可得：kx-y+3-4k=0，
令x=0，得y=3-4k，所以B（0，3-4k）；
令y=0，得到x=4-

3

k

，所以A（4-

3

k

，0），
所以|OA|+|OB|=3-4k+4-

3

k

=7+（-4k）+

3

-k

，
因為k＜0，則|OA|+|OB|=7+（-4k）+

3

-k

≥7+4

3

，
當且僅當-

3

k

=-4k，即k=±

3

2

，
因為k＜0，所以k=-

3

2

，
所以直線l的方程為

3

x+2y-4

3

-6=0．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握直線的點斜式方程，考查學生利用基本不等式求最小值，在利用基本不等式求最小值時應該注意使用的條件：一正，二定，三相等，此題屬于中檔題．