Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（I）求角B；
（II）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）把已知的等式變形，利用正弦定理化簡，再根據兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式進行變形，根據sinA不為0，在等式兩邊同時除以sinA，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（II）由第一問求出的B的度數，得到sinB的值，同時利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，配方化簡后，把cosB，b，及a+c的值代入，求出ac的值，最后由ac及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（I）由已知得

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，由正弦定理得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

．
即2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴cosB=-

1

2

，∴B=

2π

3

；…6分
（II）由（I）得sinB=

3

2

．…7分
將b=

13

，a+c=4，B=

2π

3

代入b²=a²+c²-2accosB中，得ac=3．…10分
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

．…12分．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．