Question

在△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，D為AC的中點，EC∥PA
（1）求直線PD與平面PAB所成角的正弦值；
（2）當EC為多少時，PD⊥平面BED．

Answer 1

分析：（1）取AB中點F，則DF∥BC，連接PF，通過證明BC⊥面PAB得出DF⊥面PAB，∠DPF為PD與平面PAB所成角，在RT△PDF中求解即可
（2）要使PD⊥平面BED，易證PD⊥BD，只需PD⊥DE即可．相應的△PAD∽△DCE，由此求出EC的長．

解答：解：（1）取AB中點F，則DF∥BC，連接PF，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩PA=A
∴BC⊥面PAB，∴DF⊥面PAB，
∴∠DPF為PD與平面PAB所成角．
在RT△PDF中DF=1，PD²=PA²+AD²=2²+

2

²=6，
sin∠DPF=

DF

PD

=

1

6

=

6

6

直線PD與平面PAB所成角的正弦值是

6

6

（2）∵PA⊥平面ABC，EC∥PA，∴P，A，E，C四點共面．
∴面PAEC⊥面ABC，面PAEC∩面ABC=AC，
又BD⊥AC，所以BD⊥面PACE，所以BD⊥PD，
要使PD⊥平面BED，只需PD⊥DE．
由PD⊥DE得：△PAD∽△DCE，∴CE=AD•

CD

PA

=

2

即當EC為

2

時，PD⊥平面BED．

點評：本題考查直線和直線、直線和平面垂直關系的判定，直線和平面所成角的計算．考查空間想象能力、轉化、計算、推理論證能力．