Question

已知A（-1，2）為拋物線C：y=2x²上的點(diǎn)，直線l₁過點(diǎn)A且與拋物線C相切，直線l₂:x=a(a＜-1)交拋物線C 于點(diǎn)B，交直線l₁于點(diǎn)D.

（1）求直線l₁的方程；

（2）求△ABD的面積S₁；

（3）求由拋物線C及直線l₁和直線l₂所圍成的圖形面積S₂.

Answer 1

（1）4x+y+2=0（2）-(a+1)³（3）-a³-2a²-2a-

解析:

（1）由條件知點(diǎn)A（-1，2）為直線l₁與拋物線C的切點(diǎn)，∵y′=4x,∴直線l₁的斜率k=-4,

∴直線l₁的方程為y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.

(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），

由條件可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，2a²），

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，-4a-2），

∴△ABD的面積S₁為

S₁=×|2a²-(-4a-2)|×|-1-a|

=|(a+1)³|=-(a+1)³.

(3)直線l₁的方程可化為y=-4x-2,

S₂=［2x²-(-4x-2)］dx=(2x²+4x+2)dx

=[2(x³+x²+x)]| =--2(a³+a²+a)

=-a³-2a²-2a-.