Question

（2008•廣州二模）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如下表所示：

品種	電能（千度）	煤（噸）	工人人數(shù)（人）	產(chǎn)值（萬元）
甲	2	3	5	7
乙	8	5	2	10

已知該工廠的工人人數(shù)最多是200人，根據(jù)限額，該工廠每天消耗電能不得超過160千度，消耗煤不得超過150噸，問怎樣安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大．

Answer 1

分析：設設甲、乙兩種產(chǎn)品每天分別生產(chǎn)x噸和y噸，每天所得的產(chǎn)值為z萬元，依據(jù)題意，得約束條件和目標函數(shù)z=7x+10y，然后求得最優(yōu)解，即求得所得的產(chǎn)值最大和最大值的狀態(tài)．

解答：解：設甲、乙兩種產(chǎn)品每天分別生產(chǎn)x噸和y噸，
則每天所得的產(chǎn)值z=7x+10y萬元．…（2分）
依題意，得不等式

2x+8y≤160 3x+5y≤150 5x+2y≤200 x≥0 y≥0

（※）…（7分）
由

2x+8y=160 3x+5y=150

解得

x= 200 7 y= 90 7

由

5x+2y=200 3x+5y=150

解得

x= 700 19 y= 150 19

…（9分）
設點A的坐標為（

200

7

，

90

7

）點B的坐標為（

700

19

，

150

19

）則不等式組（※）所表示的平面區(qū)域是四邊形的邊界及其內部（如圖中陰影部分）．
令z=0得7x+10y=0，作直線l₀：y=-

7

10

x由圖可知把l₀平移至過點（

700

19

，

150

19

）
時，即

x= 700 19 y= 150 19

時，z取得最大值

6400

19

…（11分）
答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)

700

19

噸、乙產(chǎn)品

150

19

噸時．能獲得最大的產(chǎn)值

6400

19

萬元．…（12分）

點評：本小題考查線性規(guī)劃等基礎知識，考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力．本題主要考查用簡單的線性規(guī)劃研究目標函數(shù)的最大和最小值，關鍵是通過平面區(qū)域，求得最優(yōu)解，屬于線性規(guī)劃的應用題．