Question

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓4x²+5y²=80上，點(diǎn)A是橢圓短軸的上端點(diǎn)，且這個(gè)三角形的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）進(jìn)而根據(jù)橢圓方程求得b和c，進(jìn)而可求得A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)可分別求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C點(diǎn)代入橢圓方程后兩式相減，進(jìn)而求得直線BC的斜率，設(shè)出直線BC的方程，把B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入兩式相加求得b，則直線BC方程可得．
解答：解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理橢圓方程得=1
∴短軸b=4 a=2
∴c==2，則A（0，4 ） F₁（2，0）
∴=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0
∴k=k為BC斜率
令BC直線為：y=x+b
則：y₁+y₂=（x₁+x₂）+2b
b=-
∴BC直線為：y=x-
即5y-6x+28=0
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．