Question

在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為

27

8

，則實數a的值為

3

．

Answer 1

分析：設直線AB的方程為y=kx+1，（k≠0）．將直線AB方程與橢圓消去y，解得B的坐標，再用兩點之間距離公式，可以算出AB長關于a、k的表達式，同理可得AC長關于a、k的表達式，從而得到Rt△ABC的面積S關于a、k的表達式，根據基本不等式進行討論，可得△ABC的面積S的最大值為

a4

a(a2-1)

，最后結合題意解關于a的方程，即可得到實數a的值．

解答：解：設直線AB的方程為y=kx+1則直線AC的方程可設為y=-

1

k

x+1，（k≠0）
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

消去y，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，所以x=0或x=

-2a2k

1+a2k2

∵A的坐標（0，1），
∴B的坐標為（

-2a2k

1+a2k2

，k•

-2a2k

1+a2k2

+1），即B（

-2a2k

1+a2k2

，

1-a2k2

1+a2k2

）
因此，AB=

(0- -2a2k 1+a2k2 )2+(1- 1-a2k2 1+a2k2 )2

=

1+k2

•

|2a2k|

1+a2k2

，
同理可得：AC=

1+ 1 k2

•

| 2a2 k |

1+ a2 k2

∴Rt△ABC的面積為S=

1

2

AB•AC=

2+k2+ 1 k2

•

2a4

1+a4+a2(k2+ 1 k2 )

=

2a4|k+ 1 k |

1+a4+a2(k2+ 1 k2 )

令t=|k+

1

k

|，得S=

2a4t

1+a4+a2(t2-2)

=

2a4

(a2-1)2 t +a2t

∵t=|k+

1

k

|≥2，∴S_△ABC≤

2a4

2 (a2-1)2 t ×a2t

=

a4

a(a2-1)

當且僅當

a2-1

t

=a

t

，即t=

a2-1

a

時，△ABC的面積S有最大值為

a4

a(a2-1)

=

27

8

解之得a=3或a=

3+ 297

16

∵a=

3+ 297

16

時，t=

a2-1

a

＜2不符合題意，
∴a=3
故答案為：3

點評：本題在橢圓上求內接直角三角形面積的最大值問題，著重考查了橢圓的簡單幾何性質和利用基本不等式討論函數的最值等知識，屬于中檔題．