Question

（2014•鄭州一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則此球的表面積等于

8π

．

Answer 1

分析：利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，棱柱的體積為

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA₁，再求出△ABC外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，棱柱的體積為

3

，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴

1

2

×2×1×sin60°×AA1=

3

∴AA₁=2
∵BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos60°=4+1-2，∴BC=

3

設△ABC外接圓的半徑為R，則

BC

sin60°

=2R，∴R=1
∴外接球的半徑為

1+1

=

2

∴球的表面積等于4π×(

2

)2=8π
故答案為：8π

點評：本題考查球的表面積，考查棱柱的體積，考查學生的計算能力，屬于基礎題．