Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)(λ≠0)，

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O為坐標原點，若|

BA

|≥2|

OB

|對任意的實數α，β都成立，則實數λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先求出A、B兩點的坐標，再求

BA

的坐標表示，代入已知的不等式進行化簡，最后利用三角函數的范圍求出λ的范圍．

解答：解：由題意知，A（λcosα，λsinα），B（-sinβ，cosβ），
∴

BA

=（λcosα+sinβ，λsinα-cosβ），∵|

BA

|≥2|

OB

|恒成立，
∴（λcosα+sinβ）（λcosα+sinβ）+（λsinα-cosβ）（λsinα-cosβ）≥4，
λ²+1+2λcosαsinβ-2λsinαcosβ≥4，
λ²+2λsin（β-α）-3≥0，
∵|sin（β-α）|≤1，∴λ²+2λ-3≥0且λ²-2λ-3≥0，
解得，λ≤-3或λ≥1 且λ≤-1或λ≥3
∴λ≤-3或λ≥3．
故答案為：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評：本題考查了向量的坐標運算，包括求向量以及向量的長度，在化簡中用到了兩角和差的正弦公式及正弦值的范圍，來解決恒成立問題．