Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）若對于任意 都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0 =0，解得b=1，

f（x）= ，又由f（1）=﹣f（﹣1） ，解得a=2

（2）證明：由（1）可得：f（x）= = ．

x1＜x2，∴ ＞0，

則f（x1）﹣f（x2）= = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在R上是減函數

（3）解：∵函數f（x）是奇函數．

∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等價于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立，

∵f（x）在R上是減函數，∴kx2＜1﹣2x，

∴對于任意 都有kx2＜1﹣2x成立，

∴對于任意 都有k＜ ，

設g（x）= ，

∴g（x）= = ，

令t= ，t∈[ ，2]，

則有 ，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1

∴k＜﹣1，即k的取值范圍為（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）直接根據函數是奇函數，滿足f（﹣x）=﹣f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關于a，b的兩個等式，解方程組求出a，b的值．（2）利用減函數的定義即可證明．（3）f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，等價于f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x），即k＜ 成立，設g（x）= ，
換元使之成為二次函數，再求最小值．
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．