Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；

Answer 1

分析：（I）根據(jù)角平分線得到兩個(gè)角相等，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得到四邊形的一個(gè)外角等于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，得到兩個(gè)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和對(duì)頂角相等，根據(jù)等量代換得到∠FBC=∠FCB，三角形是一個(gè)等腰三角形，得到兩邊相等．
（II）根據(jù)兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，得到兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到比例式，不比例式化成乘積式，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC．
∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，
∴∠DAC=∠FBC．
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．
（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，
∴△FBA∽△FDB．
∴

FB

FD

=

FA

FB

，
∴FB²=FA•FD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查圓周角定理，考查對(duì)頂角相等，是一個(gè)基礎(chǔ)題．