Question

已知點A（0，4），圓O：x²+y²=4，點P在圓O上運動．
（1）如果△OAP是等腰三角形，求點P的坐標；
（2）如果直線AP與圓O的另一個交點為Q，且|AP|²+|AQ|²=36，求直線AP的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由△OAP是等腰三角形，可得|AP|=|OA|=4或|AP|=|OP|=2，條件代入，即可求點P的坐標；
（2）可設直線AP方程為y=kx+4，代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²-8kx+12=0，利用韋達定理，結合|AP|²+|AQ|²=36，即可求直線AP的方程．

解答： 解：（1）∵圓O：x²+y²=4，∴圓心O（0，0），半徑為2，
設P（x，y），則|OP|=2
∵點A（0，4），∴|OA|=4，|AP|=

x2+(y-4)2

，
∵△OAP是等腰三角形，
∴|AP|=|OA|=4或|AP|=|OP|=2．
|AP|=|OA|=4時，x²+y²=4且

x2+(y-4)2

=4，解得x=

15

2

，y=

1

2

或x=-

15

2

，y=

1

2

∴P（

15

2

，

1

2

）或P（-

15

2

，

1

2

）；
|AP|=|OP|=2時，x²+y²=4且

x2+(y-4)2

=2，解得x=0，y=2，此時O，P，A三點共線，不合題意，
綜上，P（

15

2

，

1

2

）或P（-

15

2

，

1

2

）；
（2）若直線AP為y軸，則P（0，2），Q（0，-2）或P（0，-2），Q（0，2）
|AP|²+|AQ|²=36，不合題意；
由此可設直線AP方程為y=kx+4，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²-8kx+12=0，
x₁+x₂=-

8k

1+k2

①，x₁x₂=

12

1+k2

②，
∵點A（0，4），|AP|²+|AQ|²=36，∴x₁²+（y₁-4）²+x₂²+（y₂-4）²=36，
y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4代入整理得（1+k²）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=36③
①②③聯立可得k=±

15

，符合題意．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．