Question

16、函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．其中的真命題是

②③

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：根據(jù)單函數(shù)的定義f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，可知函數(shù)f（x）則對于任意b∈B，它至多有一個原象，而①④f（-1）=f（1），顯然-1≠1，可知它不是單函數(shù)，②③都是，可得結(jié)果．

解答：解：∵，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)
∴①函數(shù)f（x）=x²不是單函數(shù)，∵f（-1）=f（1），顯然-1≠1，∴函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)；
②∵函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是增函數(shù)，∴f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，即②正確；
③∵f（x）為單函數(shù)，對于任意b∈B，
若?x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=b，
則x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾
∴③正確；
④例如①函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上是增函數(shù)，而它不是單函數(shù)；故④不正確．
故答案為：②③．

點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查學(xué)生分析解決問題的能力，以及知識方法的遷移能力．