Question

已知函數(shù)y=f（x）在R上是奇函數(shù)，而且在（0，+∞）是增函數(shù)．證明：
（1）f（0）=0；
（2）y=f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)系式，將x=0代入即可求出f（0）的值；
（2）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，根據(jù)f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)列出關(guān)系式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到f（x₁）＜f（x₂），即可得證．

解答：證明：（1）∵f（x） 在R上是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）任取x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．