Question

已知復數z滿足|z|=，z²的虛部為2．
（1）求復數z；
（2）設z，，z-z²在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積；
（3）若復數z在復平面內所對應的點位于第一象限，且復數m滿足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer 1

解：（1）設Z=x+yi（x，y∈R）
由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴
故（x-y）²=0，∴x=y將其代入（2）得2x²=2∴x=±1
故 或
故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）當Z=1+i時，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴
當Z=-1-i時，Z²=2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，2），C（-1，3）
．
（3）由題知，z=1+i
設m=c+di，則m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）²+（d-1）²=1
則復數m在復平面內所對應的點為M的軌跡為（1，1）為圓心，1為半徑的圓
所以，
分析：（1）設出復數的代數形式的式子，根據所給的模長和z²的虛部為2．得到關于復數實部和虛部的方程組，解方程組即可．
（2）寫出所給的三個復數的表示式，根據代數形式的表示式寫出復數對應的點的坐標，即得到三角形的三個頂點的坐標，求出三角形的面積．
（3）根據復數z在復平面內所對應的點位于第一象限，得到復數的對應的值，根據復數的幾何意義，看出復數對應的點在一個圓上，根據圓的性質求出最值．
點評：本題考查復數形式和復數的模長，本題解題的關鍵是對于復數的代數表示和復數的幾何意義兩者熟練應用，在利用幾何意義求最值時，注意這是圓常用的一種方法．