Question

已知函數(shù)f(x)=

-x2+6x+e2-5e-2，x∈(-∞，e] x-2lnx，，x∈(e，+∞)

，若f（6-a²）＞f（a）則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-3）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（3，+∞）

C．（-3，2）

D．（-2，3）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，當x≤e時，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]單調(diào)遞增，當x＞e時，f（x）=x-2lnx，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式f（6-a²）＞f（a）轉(zhuǎn)化為6-a²＞a，解此不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：當x≤e時，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]單調(diào)遞增，
且f（e）=e-2，
當x＞e時，f（x）=x-2lnx，
∴f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

＞0，
∴f（x）=x-2lnx在（e，-+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（e）=e-2，
綜上函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，
由f（6-a²）＞f（a）得6-a²＞a，
解得-3＜a＜2
故選C．

點評：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式f（6-a²）＞f（a）轉(zhuǎn)化為6-a²＞a，是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．