Question

為了解某市今年初二年級男生的身體素質狀況，從該市初二年級男生中抽取了一部分學生進行“擲實心球”的項目測試．成績低于6米為不合格，成績在6至8米（含6米不含8米）的為及格，成績在8米至12米（含8米和12米，假定該市初二學生擲實心球均不超過12米）為優秀．把獲得的所有數據，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在10米到12米之間．
（Ⅰ）求實數a的值及參加“擲實心球”項目測試的人數；
（Ⅱ）根據此次測試成績的結果，試估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績為優秀的概率；
（Ⅲ）若從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生來自不同組的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由頻率分布直方圖的性質可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根據樣本容量=頻數÷頻率，求出參加“擲實心球”項目測試的人數；
（2）根據題意，成績在最后兩組的為優秀，其頻率為0.15+0.05，由頻率計算公式即可算出該樣本中成績優秀的人數，根據樣本估計總體的原則得出估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績為優秀的概率；
（3）由頻率計算公式得樣本中第一組共有2人，得第二組共有6人．用組合數的方法計算出基本事件的總數共有28個，而抽取的2名學生來自不同組構成的基本事件有12個．由此結合古典概型計算公式即可算出所求概率．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．
所以此次測試總人數為．
答：此次參加“擲實心球”的項目測試的人數為40人．      …（4分）
（Ⅱ）由圖可知，參加此次“擲實心球”的項目測試的初二男生，成績優秀的頻率為（0.15+0.05）×2=0.4，
則估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績為優秀的概率為0.4．                             …（7分）
（Ⅲ）設事件A：從此次測試成績不合格的男生中隨機抽取2名學生來自不同組．
由已知，測試成績在[2，4）有2人，記為a，b；在[4，6）有6人，記為c，d，e，f，g，h．
從這8人中隨機抽取2人有C共28種情況．
事件A包括2×6共12種情況．
所以事件A的概率P==．
答：隨機抽取的2名學生來自不同組的概率為．     …（13分）
點評：本題給出頻率分布直方圖，求樣本中成績優秀的人數，并求一個隨機事件的概率．著重考查了頻率分布的計算公式和古典概型計算公式等知識，屬于基礎題．