Question

已知數列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n+1-pa_n}為等比數列；
（2）數列{a_n}中，是否存在連續的三項，這三項構成等比數列？試說明理由．

Answer 1

考點：等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于a_n=pⁿ+λqⁿ，可得a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λ（q²-pq）•q^n-1，由于p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．可得λ（q²-pq）≠0，即可證明．
（2）假設數列{a_n}中，存在連續的三項，這三項構成等比數列．則

a

2 n+1

=an•an+2，代入化為化為（p-q）²=0，即p=q．與已知p≠q矛盾，因此假設不成立．
即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p）=λ（q²-pq）•q^n-1，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，m∈N^*）．
∴λ（q²-pq）≠0，
∴數列{a_n+1-pa_n}為等比數列，首項為λ（q²-pq），公比為q．
（2）假設數列{a_n}中，存在連續的三項，這三項構成等比數列．
則

a

2 n+1

=an•an+2，
化為2λpⁿ⁺¹qⁿ⁺¹=λpⁿqⁿ⁺²+λpⁿ⁺²qⁿ，
化為（p-q）²=0，即p=q．
∵p≠q，∴假設不成立．
∴數列{a_n}中，不存在連續的三項，這三項構成等比數列．

點評：本題考查了等比數列的定義通項公式及其性質，考查了計算能力，屬于基礎題．