Question

【題目】設f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為m．
（1）求m；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≤﹣1時，f（x）=3+x≤2；

當﹣1＜x＜1時，f（x）=﹣1﹣3x＜2；

當x≥1時，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．

故當x=﹣1時，f（x）取得最大值m=2．

（2）解：a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），

當且僅當a=b=c= 時，等號成立．

此時，ab+bc取得最大值 =1．

【解析】（1）運用零點分區間，討論x的范圍，去絕對值，由一次函數的單調性可得最大值；（2）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），運用重要不等式，可得最大值．