Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-．
（Ⅰ）設(shè)c=，b_n=，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令c=代入到a_n+1=c-中整理并令b_n=進(jìn)行替換，得到關(guān)系式b_n+1=4b_n+2，進(jìn)而可得到{}是首項(xiàng)為-，公比為4的等比數(shù)列，先得到{}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先求出n=1，2時(shí)的c的范圍，然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c＞2時(shí)a_n＜a_n+1，然后當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，根據(jù)由可發(fā)現(xiàn)c＞時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定c的范圍．
解答：解：（1），
，即b_n+1=4b_n+2
，a₁=1，故
所以{}是首項(xiàng)為-，公比為4的等比數(shù)列，
，
（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時(shí)a_n＜a_n+1．
（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₂=c-＞a₁，命題成立；
（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k＜a_k+1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
故由（i）（ii）知當(dāng)c＞2時(shí)，a_n＜a_n+1
當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，由
當(dāng)2＜c≤時(shí)，a_n＜α≤3
當(dāng)c＞時(shí)，α＞3且1≤a_n＜α
于是

當(dāng)n＜
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范圍是（2，]．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力，在解題過(guò)程中也滲透了對(duì)函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查．