Question

某公司需制作容積為216ml的長(zhǎng)方體形飲料盒，飲料盒底面的長(zhǎng)是寬的2倍．當(dāng)飲料盒底面的寬為多少時(shí)，才能使它的用料最省？

Answer 1

解：設(shè)飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長(zhǎng)為2x cm．
根據(jù)V=x•2x•h，可得216=2hx²，所以h=．
所以，表面積S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x²+3x•）=4（x²+）（x＞0），
由S′（x）=4（2x-）=0，得x=．
當(dāng)0＜x＜時(shí)，S′（x）＜0，函數(shù)S（x） 在（0，）是減函數(shù)；
當(dāng)x＞時(shí)，S′（x）＞0，函數(shù)S（x） 在（，+∞）是增函數(shù)．
所以，當(dāng)x=時(shí)，S（x）取得極小值，且是最小值．
答：當(dāng)飲料盒底面的寬為cm時(shí)，才能使它的用料最省．
分析：設(shè)飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長(zhǎng)為2x cm．由題意，得216=2hx²，從而得h=．用料最省，即長(zhǎng)方體表面積最小，利用導(dǎo)數(shù)即可求得其最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若有唯一極值點(diǎn)，則即為最值點(diǎn)，應(yīng)用題注意步驟的規(guī)范性．