Question

某公司需制作容積為216ml的長方體形飲料盒，飲料盒底面的長是寬的2倍．當飲料盒底面的寬為多少時，才能使它的用料最省？

Answer 1

分析：設飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長為2x cm．由題意，得216=2hx²，從而得h=

216

2x2

．用料最省，即長方體表面積最小，利用導數即可求得其最小值．

解答：解：設飲料盒底面的寬為x cm，高為h cm，則底面長為2x cm．
根據V=x•2x•h，可得216=2hx²，所以h=

216

2x2

．
所以，表面積S（x）=2（x•2x+x•h+2x•h）
=2（2x²+3x•

216

2x2

）=4（x²+

162

x

）（x＞0），
由S′（x）=4（2x-

162

x2

）=0，得x=3

3	3

．   
當0＜x＜3

3	3

時，S′（x）＜0，函數S（x） 在（0，3

3	3

）是減函數；
當x＞3

3	3

時，S′（x）＞0，函數S（x） 在（3

3	3

，+∞）是增函數．
所以，當x=3

3	3

時，S（x）取得極小值，且是最小值．
答：當飲料盒底面的寬為3

3	3

cm時，才能使它的用料最省．

點評：本題考查導數在解決實際問題中的應用，函數在開區間內若有唯一極值點，則即為最值點，應用題注意步驟的規范性．