Question

函數f（x）的定義域為（0，+∞），對于任意的正實數m，n，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，當x＞1時，f（x）＜0，證明f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：根據函數單調性的定義可知，先在（0，+∞）上任取兩值并規定大小，將條件進行轉化成f（mn）-f（m）=f（n），將兩值代入，根據條件進行判定符號即可得到函數的單調性．

解答：解：設0＜x₁＜x₂
∵f（mn）=f（m）+f（n），即f（mn）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)
因為0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
而當x＞1時，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數單調性的判斷與證明和不等式的解法，屬于基礎題